این مسئله را حل کن، 30 میلیارد تومان جایزه بگیر! - وبمستر وبلاگ

حل کردن این مسائل تأثیرات بزرگی بر حوزه مربوط یا حتی فراتر از آن خواهد داشت.

حدس پوانکاره

از میان این هفت مسئله، حدس پوانکاره در سال 2003 به وسیله گریگوری پرلمان (Grigori Perelman)، ریاضیدان روسی، حل شد؛ هرچند او از قبول جایزه انجمن کلی و البته تمام جوایز و مدال های دیگر برای دستاوردهایش خودداری کرد.

بیش از دو دهه از زمان مطرح شدن مسائل جایزه هزاره می گذرد و شش مسئله دیگر کماکان حل نشده به جای مانده اند. در ادامه به شرح این مسائل خواهیم پرداخت؛ شاید شما بتوانید آن ها را حل کنید!

فرضیه ریمان

مهم ترین مسئله حل نشده در ریاضیات محض به فرضیه ریمان (Riemann Hypothesis) مشهور است. این مسئله را برنهارت ریمان، ریاضیدان آلمانی قرن نوزدهم مطرح نموده است که آثارش در زمینه آنالیز و هندسه دیفرانسیل، پایه ریاضی نظریه نسبیت عام شد.

فرضیه ریمان از سال 1859 تا به امروز حل نشده به جای مانده و به قدری سخت است که دیوید هیلبرت، از تأثیرگذارترین ریاضیدانان در پیدایش و توسعه مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت، درباره آن گفت:

اگر قرار بود بعد از هزار سال از خواب بیدار شوم، اولین سوالی که می پرسیدم این بود: آیا فرضیه ریمان اثبات شده است؟

جالب است بدانید هیلبرت در سال 1900، بیست و سه سؤال ریاضی که تا آن موقع حل نشده بودند را مطرح نموده بود که فرضیه ریمان یکی از آن ها بود. بعضی از این سؤال ها که به مسائل هیلبرت معروفیت دارند، حل شده اند و تأثیر بسزایی بر ریاضیات قرن بیستم گذاشتند.

فرضیه ریمان درواقع از شما می خواهد اثبات کنید تابع زتا ریمان در چه شرایطی برابر با صفر است. ریمان می گوید تابع زتا تنها زمانی به صفر می رسد که با اعداد صحیح زوج منفی و اعداد مختلط با قسمت واقعی 1/2 سروکار داشته باشیم. مشکل اینجا است که اگرچه بیش از 250 میلیون صفر این فرضیه را اثبات نموده اند، هنوز ثابت نشده که این موضوع برای تمام صفرها صدق می نماید.

فرضیه ریمان از این جهت بسیار مهم است که اعداد اول (که فقط بر یک و خودشان تقسیم پذیرند) اساسی ترین و اسرارآمیزترین مفهوم در ریاضیات هستند. وقتی اعداد اول را به صورت مجموعه خطی پشت سر هم می نویسیم، هیچ الگویی در نحوه توزیع آن ها ظاهر نمی گردد و به همین دلیل نمی توانیم تمام اعداد اول را پیش بینی کنیم. اما وقتی این اعداد را به یاری تابع زتا ریمان روی نمودار می آوریم، الگوی جالبی از صفرهای ریمان روی آن ظاهر می گردد که اگر بتوانیم آن را برای تمام اعداد ثابت می کنیم، آن وقت می توانیم بگوییم الگوی پنهان توزیع اعداد اول را انتها کشف نموده ایم. بدین ترتیب می توانیم با دقت بسیار بالا تعداد اعداد اول در هر بازه معینی را معین کنیم.

شاید بپرسید داشتن تابعی برای تعریف اعداد اول اصلاً چه اهمیتی دارد؟ بسیاری از ریاضیدانان اعداد اول را به عنوان اتم های تشکیل دهنده تمام اعداد دیگر می بینند، زیرا می توانید با استفاده از اعداد اول به هر عددی برسید. در فرضیه ریمان، دامنه ای که روی خط عددی از مقادیری ایجاد می گردد که تابع زتا را صفر می نماید، همچون فواصل بین سطوح انرژی در سیستم های کوانتومی است و این یعنی نوعی رابطه بین اجزای سازنده اعداد با اعداد اول و اجزای سازنده ماده با اتم وجود دارد و حل این فرضیه ما را به درک جدیدی از ماده خواهد رساند.

مسئله P درمقابل NP

P درمقابل NP مسئله حل نشده مهمی در علوم کامپیوتر است و می پرسد آیا هر مسئله ای که صحت جواب های آن را بتوان به سرعت ارزیابی کرد (NP)، به سرعت هم قابل حل شدن است (P)؟ این مسئله را استیون کوک، دانشمند کامپیوتر در سال 1971 بیان کرد.

بیایید برای فهم بهتر این مسئله یک مثال بزنیم. اگر به شما عددی را بدهند و بگویند این عدد از حاصل ضرب کدام دو عدد اول بدست آمده است، آیا می توانید به پاسخ درستی برسید؟ اگر این عدد کوچک باشد، جواب ساده است. مثلاً 15 از ضرب دو عدد 5 و 3 حاصل می گردد. اما اگر عدد موردنظر ما 200 رقم داشته باشد، سال ها زمان ضروری است تا دو مضرب آن پیدا گردد.

حالا این سؤال را برعکس کنیم؛ اگر به شما دو عدد اول را دهند و بگویند آیا از حاصل ضرب این دو، عدد x حاصل می گردد، پیداکردن جواب این سؤال به راحتی انجام عملیات ضرب است. به عبارت دیگر، شما با ضرب این دو عدد می توانید به سرعت صحت جواب را ارزیابی کنید. اما همان طور که دیدید، برعکس این قضیه آنقدر زمان می برد که حل آن تقریباً ناممکن است.

در حوزه علوم کامپیوتر، مسئله ای که جوابش به سرعت معین می گردد، P و مسئله ای که صرفاً صحت جواب های آن به سرعت تأیید می گردد، NP نام دارد. درواقع، اینکه مسائل بتوانند به سرعت حل شوند، یا به زبان علوم کامپیوتر، زمان اجرای الگوریتم آن ها چندجمله ای (Polynomial Time) باشد، از اهمیت بسیاری برخوردار است؛ چراکه اگر حل مسئله ای بخواهد صدها یا هزاران سال طول بکشد، حل آن عملا ناممکن است.

مسئله استیون کوک دقیقاً این را می پرسد:آیا می توانیم در ازای هر الگوریتم NP که زمان اجرای آن چند جمله ای است، الگوریتمی با زمان اجرای چند جمله ای برای P داشته باشیم؟

روزی که کسی بتواند انتها ثابت کند P=NP، بسیاری از ریاضیدانان از کار بی کار می شوند. چراکه P=NP به این معنی است که اثبات یک نظریه ریاضی با ارزیابی صحت جواب های آن یکی است. حتی بدتر از آن، تمام سیستم های بانکی نیز از کار می افتند؛ چراکه رمزگشایی از کلمات عبور که با مضرب بسیار بزرگی از اعداد اول رمزنگاری می شوند، در کسری از ثانیه ممکن می گردد. برای آشنایی بیشتر با این موضوع پیشنهاد می کنم مقاله الگوریتم شور به زبان ساده؛ رمزگشایی داده در کامپیوتر کوانتومی را مطالعه کنید.

حدس هاج

حدس هاج (Hodge Conjecture) یکی از مسائل مهم حل نشده در هندسه جبری و هندسه مختلط است که چگونگی تشکیل ساختارهای پیچیده ریاضی از اجزای ساده را آنالیز می نماید و درواقع می کوشد این دو مفهوم مختلف ریاضی را به هم پیوند دهد.

در قرن بیستم، ریاضیدانان روش مهمی برای مشاهده و آنالیز اجسام پیچیده کشف کردند؛ به این صورت که اجسامی را که به طور فزاینده ای بزرگ تر می شدند، کنار هم قرار می دهند تا به نزدیک ترین شکل به جسم اصلی برسند. این تکنیک به قدری مفید بود که در بسیاری از حوزه های دیگر نیز به کار گرفته شد و درنهایت، اجسام پیچیده ای که ریاضیدانان به این روش دسته بندی کردند، در اختراعات شگفت انگیزی به کار رفتند.

متأسفانه، ازطریق این تعمیم ها، خاستگاه هندسی این فرایند از بین رفت و کوشش بر این بود که این اجزا بدون فرمول و پشتوانه هندسی به هم پیوند داده شوند. حالا حدس هاج می پرسد آیا برای این مفهوم، رابط هندسی وجود دارد؟

نظریه یانگ-میلز

نظریه یانگ-میلز (Yang-Mills Theory) یکی دیگر از مسائل حل نشده جایزه دار است که به حوزه فیزیک کوانتوم مربوط می گردد. این نظریه، ذرات را با استفاده از تقارن ریاضی تعریف می نماید.

در طول شش دهه گذشته، تئوری یانگ-میلز به سنگ بنای فیزیک نظری تبدیل شده است؛ چراکه به نظر می رسد تنها نظریه نسبیت کوانتوم چندجسمی کاملاً سازگار با چهار بعد فضازمان باشد و به همین دلیل، پایه مدل استاندارد فیزیک ذرات است که ثابت شده نظریه درستی برای انرژی هایی است که می توانیم میزان گیری کنیم.

نظریه یانگ-میلز درواقع تعمیم نظریه یکپارچه الکترومغناطیس یا همان معادلات ماکسول است که به وسیله جیمز کلرک ماکسول، فیزیکدان اسکاتلندی مطرح شد و برای توصیف نیروی ضعیف و نیروی قوی ذرات زیراتمی بر حسب ساختار هندسی یا میدان کوانتومی به کار می رود.

این نظریه در سال 1954 به وسیله دو فیزیکدان به نام های چن نینگ یانگ و رابرت ال. میلز ارائه شد و بر خاصیت مکانیک کوانتومی موسوم به شکاف جرم (Mass Gap) تکیه دارد که درواقع تفاوت انرژی بین پایین ترین سطح (خلا) با کمترین سطح بعدی و معادل جرم سبک ترین ذره است. دانشمندان معتقدند شکاف جرمی عاملی است که باعث شده نیروی قوی تنها در فواصل بسیار کوچک، یعنی درون هسته های اتمی، وجود داشته باشد.

نظریه یانگ میلز یکپارچگی نیروی الکترومغناطیسی و نیروی ضعیف را توصیف می نماید؛ نیروی اول باعث می گردد الکترون ها به دور پروتون بچرخند و نیروی دوم باعث می گردد یک نوترون به یک الکترون و یک پروتون تجزیه گردد. تفاوت این دو نیرو مانند تفاوت بین قمری است که در حین چرخش به دور سیاره دور خود می چرخد و قمری که در حین چرخش به دور سیاره، به دور خود نمی چرخد. نیرویی که قمر را در مدار سیاره نگه می دارد، صرف نظر از اینکه به دور خود می چرخد یا خیر، یکسان است. منظور از یکپارچگی همین است؛ اینکه نشان دهیم پشت این دو چیز متفاوت، نیروی یکسانی وجود دارد.

معادلات ناویه-استوکس

معادلات ناویه-استوکس (Navier Stokes Equations) یکی دیگر از مسائل جایزه هزاره است که به مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل مربوط می گردد که حرکت سیالات تراکم پذیر را توصیف می نماید. به طور خلاصه، معادلات ناویه-استوکس رفتار سیالات را توصیف می نماید.

این معادله با اعمال قانون دوم نیوتن در خصوص سیالات به دست می آید و پرواز هواپیماها، فراوری برق، پیش بینی آب وهوا و حتی ساخت قایق و کشتی نیز به آن وابسته است. حتی کمپانی انیمیشن سازی پیکسار نیز از معادلات ناویه-استوکس برای پویانمایی آثار خود استفاده می نماید.

این معادلات اگرچه ساده به نظر می ٰسند، در حالت سه بعدی به سرعت پیچیده می شوند. چارلز ففرمن، استاد دانشگاه پرینستون می گوید: می توان حل معادلات ناویر-استوکس را نسبتاً به سادگی و با اعتماد به نفس بالا آغاز کنید؛ اما راهکار ها ممکن است به طور باورنکردنی ای غیرقابل پیش بینی باشند.

گفته می گردد اگر ریاضیدانان بتوانند پدیده ناویه-استوکس را از این حالت غیرقابل پیش بینی بیرون آورند، تغییرات شگرفی در زمینه دینامیک سیالات حاصل خواهد شد. به گفته ففرمن، اگر این معادلات به اثبات برسد، دستاوردی فوق العاده در بالاترین حد خواهد بود.

حدس برش و سوینرتون-دایر

اوایل دهه 1960 در انگلستان، ریاضیدانان بریتانیایی برایان برش و پیتر سوینرتون-دایر از کامپیوتر EDSAC که جزو اولین کامپیوترهای ساخت انگلیس بود، برای انجام تحقیقات عددی منحنی های بیضوی استفاده کردند. آن ها براساس این نتایج عددی، حدس برش و سوینرتون-دایر (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) را بیان کردند که آخرین مسئله حل نشده یک میلیون دلاری در این لیست است.

حدس برش و سوینرتون-دایر می گوید یک منحنی بیضوی درصورتی که تابع مربوط به آن برابر با صفر باشد، دارای تعداد نامتناهی نقطه گویا (راهکار) است و درصورتی که تابع صفر نباشد، دارای تعداد محدودی از نقاط گویا است. به عبارت دیگر، این مسئله می خواهد ثابت کنید اگر یک منحنی بیضی بی نهایت راهکار داشته باشد، در نقاط خاصی از سری L برابر با صفر خواهد بود.

این نظریه به طور گسترده در رمزنگاری استفاده می گردد و برای حل بسیاری از مسائل از جمله قضیه آخر فِرما (Fermats final theorem) اهمیت زیادی دارد.

5858